Dalam berbagai bidang ilmu, Albert Einstein telah menginspirasi banyak peneliti dan akademisi. Namun, seiring berjalannya waktu, semakin banyak masalah matematika yang membingungkan para ahli. Baru-baru ini, dalam sebuah penemuan yang mengejutkan, seorang matematikawan berhasil memecahkan masalah yang selama ini dianggap “elusive” oleh komunitas ilmiah – mirip seperti sosok Einstein yang selalu sulit ditebak dan dipahami.
November lalu, setelah satu dekade upaya yang gagal, David Smith, seorang penghobi bentuk yang menggambarkan dirinya sendiri dari Bridlington di East Yorkshire, Inggris, curiga bahwa dia mungkin akhirnya memecahkan masalah terbuka dalam matematika ubin: Artinya, dia pikir dia mungkin telah menemukan “einstein.”
Dalam istilah yang kurang puitis, einstein adalah “monotil aperiodik”, suatu bentuk yang melapisi bidang, atau permukaan datar dua dimensi yang tak terbatas, tetapi hanya dalam pola yang tidak berulang. (Istilah “einstein” berasal dari bahasa Jerman “ein stein,” atau “satu batu” – lebih longgar, “satu ubin” atau “satu bentuk.”) Wallpaper atau lantai ubin khas Anda adalah bagian dari pola tak terbatas yang berulang secara berkala ; saat digeser, atau “diterjemahkan”, pola tersebut dapat ditumpangkan dengan tepat pada dirinya sendiri. Ubin aperiodik tidak menampilkan “simetri translasi” seperti itu, dan matematikawan telah lama mencari satu bentuk yang dapat menyusun bidang sedemikian rupa. Ini dikenal sebagai masalah einstein.
Mendaftar untuk buletin The Morning dari New York Times
“Saya selalu mengotak-atik dan bereksperimen dengan bentuk,” kata Smith, 64, yang bekerja sebagai teknisi percetakan, di antara pekerjaan lain, dan pensiun dini. Meskipun dia menyukai matematika di sekolah menengah, dia tidak unggul dalam hal itu, katanya. Tapi dia telah lama “tertarik secara obsesif” dengan masalah Einstein.
Dan sekarang makalah baru — oleh Smith dan tiga rekan penulis dengan keahlian matematika dan komputasi — membuktikan penemuan Smith benar. Para peneliti menyebut einstein mereka “topi”, karena menyerupai topi fedora. (Smith sering memakai bandana yang diikatkan di kepalanya.) Makalah tersebut belum ditinjau oleh rekan sejawat.
“Tampaknya ini adalah penemuan yang luar biasa!” Joshua Socolar, seorang fisikawan di Duke University yang membaca salinan awal makalah yang disediakan oleh The New York Times, mengatakan dalam sebuah email. “Aspek yang paling signifikan bagi saya adalah bahwa ubin tidak secara jelas termasuk dalam kelas struktur yang kita kenal.”
“Hasil matematika menimbulkan beberapa pertanyaan fisika yang menarik,” tambahnya. “Orang bisa membayangkan menemukan atau membuat bahan dengan jenis struktur internal seperti ini.” Socolar dan Joan Taylor, seorang peneliti independen di Burnie, Tasmania, sebelumnya menemukan monotile heksagonal yang terbuat dari potongan-potongan yang tidak terhubung, yang menurut beberapa orang, melanggar aturan. (Mereka juga menemukan versi 3D yang terhubung dari petak Socolar-Taylor.)
Cerita berlanjut
Dari 20.426 menjadi 1
Awalnya, pengejaran ubin matematis dimotivasi oleh pertanyaan luas: Apakah ada sekumpulan bentuk yang hanya dapat menyusun bidang secara tidak berkala? Pada tahun 1961, ahli matematika Hao Wang menduga bahwa himpunan seperti itu tidak mungkin, tetapi muridnya Robert Berger segera membuktikan bahwa dugaan tersebut salah. Berger menemukan satu set aperiodik 20.426 ubin, dan setelah itu satu set 104 ubin.
Kemudian permainannya menjadi: Berapa sedikit ubin yang berhasil? Pada tahun 1970-an, Sir Roger Penrose, seorang fisikawan matematika di Universitas Oxford yang memenangkan Hadiah Nobel Fisika 2023 untuk penelitiannya tentang lubang hitam, menurunkan jumlahnya menjadi dua.
Yang lain sejak menemukan bentuk untuk dua ubin. “Saya punya satu atau dua pasang sendiri,” kata Chaim Goodman-Strauss, penulis makalah lainnya, seorang profesor di Universitas Arkansas, yang juga memegang gelar matematikawan penjangkauan di Museum Nasional Matematika di New York.
Dia mencatat bahwa kotak hitam dan putih juga dapat membuat pola nonperiodik yang aneh, selain pola kotak-kotak periodik yang sudah dikenal. “Cukup sepele memang bisa membuat pola yang aneh dan menarik,” ujarnya. Keajaiban dari dua ubin Penrose adalah mereka hanya membuat pola nonperiodik — hanya itu yang bisa mereka lakukan.
“Tapi kemudian Holy Grail adalah, bisakah kau melakukannya dengan satu—satu petak?” kata Goodman-Strauss.
Baru-baru ini beberapa tahun yang lalu, Sir Roger sedang mengejar seorang einstein, tetapi dia mengesampingkan eksplorasi itu. “Aku menurunkan nomornya menjadi dua, dan sekarang kita menurunkannya menjadi satu!” katanya tentang topi itu. “Ini adalah tur de force. Saya tidak melihat alasan untuk tidak mempercayainya.”
Makalah tersebut memberikan dua bukti, keduanya dilakukan oleh Joseph Myers, salah satu penulis dan pengembang perangkat lunak di Cambridge, Inggris. Salah satunya adalah bukti tradisional, berdasarkan metode sebelumnya, ditambah kode khusus; yang lain menerapkan teknik baru, bukan bantuan komputer, yang dirancang oleh Myers.
Sir Roger menganggap buktinya “sangat rumit”. Meskipun demikian, dia “sangat tertarik” dengan einstein, dia berkata: “Bentuknya sangat bagus, sangat sederhana.”
Mengotak-atik Imajinatif
Kesederhanaan datang dengan jujur. Investigasi Smith sebagian besar dilakukan secara manual; salah satu rekan penulisnya menggambarkannya sebagai “pengotak-atik imajinatif”.
Untuk memulai, dia akan “bermain-main” di layar komputer dengan PolyForm Puzzle Solver, perangkat lunak yang dikembangkan oleh Jaap Scherphuis, seorang penggila ubin dan ahli teori teka-teki di Delft, Belanda. Namun jika sebuah bentuk memiliki potensi, Smith menggunakan mesin pemotong Silhouette untuk memproduksi 32 salinan pertama dari stok kartu. Kemudian dia akan menyatukan ubin, tanpa celah atau tumpang tindih, seperti teka-teki gambar, memantulkan dan memutar ubin seperlunya.
“Selalu menyenangkan untuk terlibat langsung,” kata Smith. “Ini bisa sangat meditatif. Dan itu memberikan pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana sebuah bentuk dapat atau tidak membentuk teselasi.”
Ketika pada bulan November dia menemukan ubin yang sepertinya memenuhi pesawat tanpa pola berulang, dia mengirim email ke Craig Kaplan, rekan penulis dan ilmuwan komputer di University of Waterloo.
“Mungkinkah bentuk ini menjadi jawaban untuk apa yang disebut ‘masalah einstein’ — sekarang bukankah itu menjadi masalah?” Smith menulis.
“Jelas ada sesuatu yang tidak biasa terjadi dengan bentuk ini,” kata Kaplan. Mengambil pendekatan komputasi yang dibangun pada penelitian sebelumnya, algoritmenya menghasilkan petak topi yang semakin besar. “Tampaknya tidak ada batasan seberapa besar gumpalan ubin yang dapat dibuat oleh perangkat lunak,” katanya.
Dengan data mentah ini, Smith dan Kaplan mempelajari struktur hierarki ubin dengan mata. Kaplan mendeteksi dan membuka kunci perilaku petunjuk yang membuka bukti aperiodisitas tradisional — metode matematikawan “keluar dari laci kapan saja Anda memiliki kandidat set ubin aperiodik,” katanya.
Langkah pertama, kata Kaplan, adalah “menentukan satu set empat ‘metatiles’, bentuk sederhana yang menggantikan pengelompokan kecil satu, dua, atau empat topi.” Metatiles berkumpul menjadi empat bentuk lebih besar yang berperilaku serupa. Rakitan ini, dari metatiles ke supertiles ke supertiles, ad infinitum, menutupi “‘lantai’ matematika yang lebih besar dan lebih besar dengan salinan topi,” kata Kaplan. “Kami kemudian menunjukkan bahwa perakitan hierarkis semacam ini pada dasarnya adalah satu-satunya cara untuk memasang pesawat dengan topi, yang ternyata cukup untuk menunjukkan bahwa itu tidak pernah dapat dipasang secara berkala.”
“Ini sangat pintar,” kata Berger, pensiunan insinyur listrik di Lexington, Massachusetts, dalam sebuah wawancara. Dengan risiko terlihat pilih-pilih, dia menunjukkan bahwa karena ubin topi menggunakan pantulan – ubin berbentuk topi dan gambar cerminnya – beberapa orang mungkin bertanya-tanya apakah ini adalah kumpulan monotil aperiodik dua ubin, bukan satu ubin.
Goodman-Strauss telah mengangkat kehalusan ini pada daftar ubin: “Apakah ada satu atau dua topi?” Konsensusnya adalah bahwa monotile dianggap seperti itu bahkan menggunakan pantulannya. Itu menyisakan pertanyaan terbuka, Berger berkata: Apakah ada einstein yang akan melakukan pekerjaan itu tanpa refleksi?
Bersembunyi di Hexagons
Kaplan mengklarifikasi bahwa “topi” bukanlah penemuan geometris baru. Ini adalah polykite — terdiri dari delapan layang-layang. (Ambil segi enam dan gambar tiga garis, hubungkan bagian tengah setiap sisi ke bagian tengah sisi yang berlawanan; enam bentuk yang dihasilkan adalah layang-layang.)
“Kemungkinan orang lain telah memikirkan bentuk topi ini di masa lalu, hanya saja tidak dalam konteks di mana mereka melanjutkan untuk menyelidiki sifat ubinnya,” kata Kaplan. “Saya suka berpikir bahwa itu bersembunyi di depan mata.”
Marjorie Senechal, seorang ahli matematika di Smith College, berkata, “Dalam arti tertentu, ia telah duduk di sana selama ini, menunggu seseorang untuk menemukannya.” Penelitian Senechal mengeksplorasi bidang tetangga dari kristalografi matematis, dan hubungannya dengan quasicrystals.
“Yang paling mengejutkan saya adalah ubin aperiodik ini diletakkan di atas kisi heksagonal, yang kira-kira seperiodik mungkin,” kata Doris Schattschneider, ahli matematika di Universitas Moravian, yang penelitiannya berfokus pada analisis matematis dari ubin berkala, terutama yang dibuat oleh seniman Belanda MC Escher.
Senechal setuju. “Itu duduk tepat di segi enam,” katanya. “Berapa banyak orang yang akan menendang diri mereka sendiri di seluruh dunia sambil bertanya-tanya, mengapa saya tidak melihatnya?”
Keluarga Einstein
Hebatnya, Smith kemudian menemukan Einstein kedua. Dia menyebutnya “kura-kura” – polykite yang terbuat dari bukan delapan layang-layang tapi 10. Itu “luar biasa,” kata Kaplan. Dia ingat merasa panik; dia sudah “jauh di dalam topi”.
Tapi Myers, yang telah melakukan perhitungan serupa, segera menemukan hubungan yang mendalam antara topi dan kura-kura. Dan dia melihat bahwa, sebenarnya, ada seluruh keluarga einstein yang terkait — bentuk-bentuk tak terhingga yang terus-menerus dan tak terhitung yang mengubah satu bentuk ke bentuk berikutnya.
Smith tidak begitu terkesan dengan beberapa anggota keluarga lainnya. “Mereka terlihat seperti penipu, atau mutan,” katanya.
Tapi keluarga einstein ini memotivasi bukti kedua, yang menawarkan alat baru untuk membuktikan aperiodisitas. Matematika itu sepertinya “terlalu bagus untuk menjadi kenyataan,” kata Myers melalui email. “Saya tidak mengharapkan pendekatan yang berbeda untuk membuktikan aperiodisitas – tetapi semuanya tampak menyatu saat saya menulis detailnya.”
Goodman-Strauss memandang teknik baru sebagai aspek penting dari penemuan; sampai saat ini, hanya ada segelintir bukti aperiodisitas. Dia mengakui itu adalah “keju yang kuat”, mungkin hanya untuk penikmat kelas atas. Butuh beberapa hari baginya untuk diproses. “Lalu saya tersambar petir,” katanya.
Smith kagum melihat makalah penelitian itu bersatu. “Aku tidak membantu, jujur saja.” Dia menghargai ilustrasinya, dia berkata: “Saya lebih menyukai gambar.”
c.2023 Perusahaan New York Times
“Elusive ‘Einstein’ Ungkap Misteri Matematika Lama” adalah kabar gembira bagi komunitas peneliti matematika. Penemuan terbaru yang mengungkapkan penyelesaian beberapa masalah matematika yang sulit diselesaikan sebelumnya, menunjukkan potensi besar untuk terobosan berikutnya di bidang ini. Baca lebih lanjut di Majikan Pulsa.
#Elusive #Einstein #Memecahkan #Masalah #Matematika #Lama majikan pulsa Elusive ‘Einstein’ Memecahkan Masalah Matematika Lama